实验报告
学生：杨昊元      学号： 250603114      院系：自动化25-1     提交时间： 2026-4-05 22:27

实验目的

1.学会用拉伸法测量金属丝的杨氏模量

2.掌握光杠杆法测量微小伸长量的原理

3.掌握各种测量工具的正确使用方法

4.学会用逐差法或最小二乘法处理实验数据

5.学会不确定度的计算方法，结果的正确表达

实验仪器

数字拉力计，钢卷尺，螺旋测微器，游标卡尺，标尺，实验架，光杠杆组件

# 实验原理

对于直径为 *d* 的圆柱形金属丝，其杨氏模量为：

$$E = \frac{F/S}{\Delta L/L} = \frac{mg/\!\left(\dfrac{1}{4}\pi d^2\right)}{\Delta L/L} = \frac{4mgL}{\pi d^2 \Delta L} \tag{4}$$

式中 *L*（金属丝原长）可由卷尺测量，*d*（金属丝直径）可用螺旋测微器测量，*F*（外力）可由实验中数字拉力计上显示的质量 *m* 求出，即 *F=mg*（g 为重力加速度），而 ΔL 是一个微小长度变化（mm 级）。针对 ΔL 的测量方法，本实验仪采用光杠杆法。

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## 光杠杆法

光杠杆法主要是利用平面镜转动，将微小角位移放大成较大的线位移后进行测量。仪器利用光杠杆组件实现放大测量功能。光杠杆组件包括：反射镜、与反射镜连动的动足、标尺等组成。其放大原理如图 1 所示。

开始时，望远镜对齐反射镜中心位置，反射镜法线与水平方向成一夹角，在望远镜中恰能看到标尺刻度 *x₁* 的像。动足足尖放置在夹紧金属丝的夹头的表面上，当金属丝受力后，产生微小伸长 ΔL，与反射镜连动的动足尖下降，从而带动反射镜转动相应的角度 *θ*，根据光的反射定律可知，在出射光线（即进入望远镜的光线）不变的情况下，入射光线转动了 2*θ*，此时望远镜中看到标尺刻度为 *x₂*。

实验中 *D*>>ΔL，所以 *θ* 甚至 2*θ* 会很小。从图 1 的几何关系中我们可以看出，2*θ* 很小时有：

$$\Delta L \approx D \cdot \theta, \quad \Delta x \approx H \cdot 2\theta$$

故有：

$$\Delta x = \frac{2H}{D} \cdot \Delta L \tag{5}$$

其中 2*H*/*D* 称作光杠杆的放大倍数，*H* 是反射镜中心与标尺的垂直距离。仪器中 *H*>>*D*，这样一来，便能把一微小位移 ΔL 放大成较大的容易测量的位移 Δx。将式（5）代入式（4）得到：

$$E = \frac{8mgLH}{\pi d^2 D} \cdot \frac{1}{\Delta x} \tag{6}$$

如此，可以通过测量式（6）右边的各参量得到被测金属丝的杨氏模量，式（6）中各物理量的单位取国际单位（SI 制）。

# 光杠杆法测量金属丝杨氏模量的实验步骤

1. 将拉力传感器信号线接入数字拉力计信号接口，用直流连接线连接数字拉力计电源输出孔和标尺背光源电源插孔。

2. 打开数字拉力计电源开关，预热 10min。背光源应被点亮，标尺刻度清晰可见。数字拉力计面板上显示此时加到金属丝上的力。

旋松光杠杆动足上的锁紧螺钉，调节光杠杆动足至适当长度（以动足尖能尽量贴近但不贴靠到金属丝，同时两前足能置于台板上的同一凹槽中为宜），用三足尖在平板纸上压三个浅浅的痕迹，通过画细线的方式画出两前足连线的高（即光杠杆常数），然后用游标卡尺测量光杠杆常数的长度 D，并将实验数据记入

3. 将光杠杆置于台板上，并使动足尖贴近金属丝，且动足尖应在金属丝正前方。

4. 旋转施力螺母，先使数字拉力计显示小于 2.5kg，然后施力由小到大（避免回转），给金属丝施加一定的预拉力 *m₀*（3.00±0.02kg），将金属丝原本存在弯折的地方拉直。用钢卷尺测量金属丝的原长 *L*，钢卷尺的始端放在金属丝上夹头的下表面，另一端对齐下夹头的上表面，将实验数据记入

5. 用钢卷尺测量反射镜中心到标尺的垂直距离 *H*，钢卷尺的始端放在标尺板上表面，另一端对齐反射镜中心，将实验数据记入

6. 用螺旋测微器测量不同位置、不同方向的金属丝直径视值 *d* 视j（至少 6 处），注意测量前记下螺旋测微器的零差 *d₀*。将实验数据记入表 2 中，计算直径视值的算术平均值 $\overline{d_{\text{视}}}$，并根据 $\overline{d} = \overline{d_{\text{视}}} - d_0$ 计算金属丝的平均直径。

7. 将望远镜移近并正对实验架台板（望远镜前沿与平台板边缘的距离在 0~30cm 范围内均可）。调节望远镜使其正对反射镜中心，然后仔细调节反射镜的角度，直到从望远镜中能看到标尺背光源发出的明亮的光。

8. 调节目镜视度调节手轮，使得十字分划线清晰可见。调节调焦手轮，使得视野中标尺的像清晰可见。转动望远镜镜身，使分划线横线与标尺刻度线平行后再次调节调焦手轮，使得视野中标尺的像清晰可见。

9. 再次仔细调节反射镜的角度，使十字分划线横线对齐 ≤2.0cm 的刻度线（避免实验做到最后超出标尺量程）。水平移动支架，使十字分划线纵线对齐标尺中心。

10. **注：下面步骤中不能再调整望远镜，并尽量保证实验桌不要有震动，以保证望远镜稳定。加力和减力过程，施力螺母不能回旋。**

11. 点击数字拉力计上的"清零"按钮，记录此时对齐十字分划线横线的刻度值 *x₁*。

12. 缓慢旋转施力螺母，逐渐增加金属丝的拉力，每隔 1.00（±0.02）kg 记录一次标尺的刻度 *xᵢ⁺*，加力至设置的最大值，数据记录后再加 0.5kg 左右（不超过 1.0kg，且不记录数据）。然后反向旋转施力螺母至设置的最大值并记录数据，同样地，逐渐减小金属丝的拉力，每隔 1.00（±0.02）kg 记录一次标尺的刻度 *xᵢ⁻*，直到拉力为 0.00（±0.02）kg。将以上数据记录于表 3 中对应位置。

13. 实验完成后，旋松施力螺母，使金属丝自由伸长，并关闭数字拉力计。

特点：光杠杆能将微小的长度变化（如金属丝的微小伸长量）通过光路反射放大为光斑在标尺上的明显位移，从而间接测量微小长度变化。其放大倍数为  \frac{2D}{l} ，其中  D  是镜面到标尺的距离， l  是光杠杆前后脚之间的垂直距离。

提高灵敏度的方法：

适当增大  D （如增加镜面与标尺的距离）。
 适当减小  l （如使光杠杆前后脚更靠近）。
 但需注意： D  过大会导致光斑变暗、读数困难； l  过小会影响光杠杆的稳定性和测量精度，因此应在合理范围内调整。

可以。通过测量不同拉力下金属丝的伸长量，计算对应的应力（肋强）和应变（肋变），以应力为横轴、应变为纵轴作散点图。在弹性限度内，应力与应变成正比，图线应为一条通过原点的直线。该直线的斜率即为杨氏弹性模量  E （因为  \sigma = E \varepsilon ）